Liebe Silvia Woltering,
eine knifflige Aufgabe, weil
1. die Nutzenfunktion drei Güter enthält
2. sich wegen des "+" in der Nutzenfunktion entweder eine Randlösung oder eine unbestimmte Lösung ergeben.
Zunächst könnten Sie erkennen, das in jedem Fall
x1 = x2 gilt, weil die Präferenz des Haushaltes für beide Güter sowie deren Preise identisch sind.
Wenn Sie das nicht auf Anhieb sehen oder nachvollziehen können, stellen Sie die übliche Lagrangefunktion auf und leiten ab:
L = x1*x2 + a*x3 + lamba * (80 - x1 - x2 - x3) mit
(1) dL/dx1 = x2 - lambda = 0
(2) dL/dx2 = x1 - lambda = 0
(3) . . .
Aus (1) und (2) folgt sofort
x1 = x2.
Jetzt spielen Sie zwei Fälle durch:
1. Es wird nur x1 = x2 konsumiert. Es gilt also x3 = 0.
Angesichts des Budgets von 80 können maximal x1 = x2 = 40 konsumiert werden. Es folgt ein Nutzen von:
U = x1*x2 = 40*40 = 1.600
2. Es gilt x1 = x2 = 0 sowie x3 = 80. Es folgt ein Nutzen von:
U = a*80
Für welches a ist die Lösung 2. besser als die Lösung 1.?
Offensichtlich gilt:
U = a*80 > 1.600 für
a > 20
Damit lassen sich alle Aussagen der Aufgabe 4 beurteilen.
War hier nicht gefragt: Für a = 20 gibt es unendlich viele Lösungen für x1 = x2 > 0 und x3 > 0.
Kommen Sie mit dieser Erklärung klar?
Freundliche Grüße
Axel Hillmann
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Repetitorium Axel Hillmann
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